Question

設f（x）=log_a（x+1），g（x）=log_a（t-x），a＞0且a≠1，且F（x）=f（x）-g（x）是奇函數．
（1）若a=2，解關于x的不等式f(x)-1＞loga

x-1

x-2

（2）判斷F（x）的單調性，并證明．

Answer 1

分析：（1）由a=2 可得不等式即 log2

1+x

2

＞log2

x-1

x-2

，從而得

x+1

2

＞

x-1

x-2

＞0，解不等式組求得不等式的解集．
（2）由題意可得F（0）=0=loga

1

t

，求得t=1，從而F（x）=loga

1+x

1-x

，由于h（x）=

1+x

1-x

 在（-1，1）上單調遞增，故當a＞時，F（x）單調遞增；當0＜a＜1時，F（x）單調遞減，利用單調性的定義進行證明．

解答：解：（1）∵a=2，∴關于x的不等式f(x)-1＞loga

x-1

x-2

，
即 log2

1+x

2

＞log2

x-1

x-2

，
∴

x+1

2

＞

x-1

x-2

＞0，
∴

x+1 2 - x-1 x-2 ＞0 x-1 x-2 ＞0

，

x2-3x 2(x-2) ＞0 x＞2或x＜1

，

x＞3或0＜x＜2 x＞2或x＜1

，
解得 x＞3，或 0＜x＜1，故不等式的解集為{x|x＞3，或 0＜x＜1 }．
（2）∵F（x）=f（x）-g（x）=log_a（x+1）-log_a（t-x）=loga

1+x

t-x

 是奇函數，
故有 F（0）=0=loga

1

t

，∴t=1，∴F（x）=loga

1+x

1-x

．
由

1+x

1-x

＞0 解得-1＜x＜1，故F（x）的定義域為（-1，1）．
由于h（x）=

1+x

1-x

 在（-1，1）上單調遞增，故當a＞時，F（x）單調遞增；當0＜a＜1時，F（x）單調遞減．
證明：設-1＜x₁＜x₂＜1，
∵h（x₁）-h（x₂）=

1+x1

1-x1

-

1+x2

1-x2

=

(1+x1)(1-x2)-(1+x2)(1-x1)

(1-x1)(1-x2)

=

2x1-2x2

(1-x1)(1-x2)

，
由-1＜x₁＜x₂＜1，可得2x₁-2x₂＜0，（1-x₁）（1-x₂）＞0，
∴

2x1-2x2

(1-x1)(1-x2)

＜0，h（x₁）＜h（x₂），故h（x）=

1+x

1-x

 在定義域（-1，1）上單調遞增，
故當a＞時，F（x）單調遞增；當0＜a＜1時，F（x）單調遞減．

點評：本題主要考查對數函數的單調性和特殊點，函數的單調性的判斷和證明，以及函數的奇偶性的應用，屬于中檔題．