Question

15、（1）試證明：y=f（x-a）與y=f（a-x）的圖象關于直線x=a對稱；
（2）若f（1+2x）=f（1-2x）對x∈R恒成立，求函數y=f（x）圖象的對稱軸方程．

Answer 1

分析：（1）y=f（x-a）與y=f（a-x）的圖象關于直線x=a對稱可轉化為證明y=f（x）與y=f（-x）的圖象關于直線x=0對稱的問題，再結合圖象的平移知識進行證明；
（2）先用換元法將f（1+2x）=f（1-2x）轉化，再由轉化后的形式判斷對稱軸的方程．

解答：解：（1） 證明：由題設知y=f（a-x）=f[-（x-a）]
由于函數y=f（x）與y=f（-x）的圖象關于直線x=0對稱，不妨令a＞0
又y=f（x-a）與y=f（a-x）的圖象可由函數y=f（x）與y=f（-x）的圖象右移動a個單位而得到
y=f（x-a）與y=f（a-x）的圖象關于直線x=a對稱
（2）令t=1+2x，可得2x=t-1，代入f（1+2x）=f（1-2x）得f（t ）=f（2-t）
由于|t-1|=|2-t-1|，故可知函數y=f（x）圖象關于直線x=1對稱
即函數y=f（x）圖象的對稱軸方程為x=1

點評：本題考點是奇偶函數圖象的對稱性，考查幅解析式的形式來推斷兩個函數圖象的對稱性與一個函數圖象本身對稱性的能力，本題中兩個對稱性是中學階段較常見的兩個類型，要好好理解與掌握．