Question

(12分)在平面直角坐標系O中，直線與拋物線＝2相交于A、B兩點.

（Ⅰ）求證：命題“如果直線過點T（3，0），那么＝3”是真命題；

（Ⅱ）寫出（1）中命題的逆命題，判斷它是真命題還是假命題，并說明理由.

 

Answer 1

【答案】

（1）見解析

（2）逆命題是：“設直線l交拋物線y²=2x于A、B兩點,如果,那么該直線過點T(3,0).”該命題是假命題.

【解析】

試題分析：(I)直線方程與拋物線方程聯立，消去x后利用韋達定理判斷=x₁x₂+y₁y₂=的值是否為3，從而確定此命題是否為真命題.

(II)根據四種命題之間的關系寫出該命題的逆命題，然后再利用直線與拋物線的位置關系知識來判斷其真假.

證明：（1）解法一：設過點T(3,0)的直線l交拋物線y²=2x于點A(x₁,y₁)、B(x₂,y₂).

當直線l的鈄率不存在時,直線l的方程為x=3,此時,直線l與拋物線相交于

A(3,)、B(3,－)，∴=3.

當直線l的鈄率存在時,設直線l的方程為y=k(x－3),其中k≠0.

得ky²－2y－6k=0,則y₁y₂=－6. 又∵x₁=y₁², x₂=y₂², 

 ∴=x₁x₂+y₁y₂==3. 綜上所述, 命題“......”是真命題.

解法二：設直線l的方程為my=x－3與y²=2x 聯立得到y²-2my-6=0    =x₁x₂+y₁y₂

=(my₁+3) (my₂+3)+ y₁y₂=(m²+1) y₁y₂+3m(y₁+y₂)+9=(m²+1)× (-6)+3m×2m+9＝3

（2）逆命題是：“設直線l交拋物線y²=2x于A、B兩點,如果,那么該直線過點T(3,0).”該命題是假命題.   例如：取拋物線上的點A(2,2),B(,1),此時=3,

直線AB的方程為y= (x+1),而T(3,0)不在直線AB上.

考點：四種命題之間的關系，直線與拋物線的位置關系，向量的數量積.

點評：本小題本質是以四種命題的關系為知識載體主要考查直線與拋物線的位置關系.由拋物線y²=2x上的點A(x₁,y₁)、B(x₂,y₂)滿足,可得y₁y₂=－6.或y₁y₂=2，如果y₁y₂=－6，可證得直線AB過點(3,0)；如果y₁y₂=2, 可證得直線AB過點(－1,0),而不過點(3,0).