Question

已知數列{a_n}滿足a₁=1，a_n+a_n+1=(

1

4

)n（n∈N﹡），S_n=a₁+a₂•4+a₃•4²+…+a_n•4^n-1 類比課本中推導等比數列前n項和公式的方法，可求得5S_n-4ⁿa_n=

 

．

Answer 1

分析：先對S_n=a₁+a₂•4+a₃•4²+…+a_n•4^n-1 兩邊同乘以4，再相加，求出其和的表達式，整理即可求出5S_n-4ⁿa_n的表達式．

解答：解：由S_n=a₁+a₂•4+a₃•4²+…+a_n•4^n-1 ①
得4•s_n=4•a₁+a₂•4²+a₃•4³+…+a_n-1•4^n-1+a_n•4ⁿ ②
①+②得：5s_n=a₁+4（a₁+a₂）+4²•（a₂+a₃）+…+4^n-1•（a_n-1+a_n）+a_n•4ⁿ
=a₁+4×

1

4

+42•(

1

4

)2+…+4n-1•(

1

4

)n-1+4ⁿ•a_n
=1+1+1+…+1+4ⁿ•a_n
=n+4ⁿ•a_n．
所以5s_n-4ⁿ•a_n=n．
故答案為n．

點評：本題主要考查數列的求和，用到了類比法，是一道比較新穎的好題目，關鍵點在于對課本中推導等比數列前n項和公式的方法的理解和掌握．