Question

已知函數f（x）=log_a（x+1）-log_a（1-x），g（x）=log_a（x+1）+log_a（x-1）（其中a＞1）；
（1）求出函數f（x），g（x）的定義域；
（2）求函數f（x），g（x）的奇偶性．

Answer 1

分析：（1）由使f（x）的解析式x+1＞0，且1-x＞0，由此求得x的范圍，即可得到函數f（x）的定義域．對于函數g（x），由解析式可得

x+1＞0 x-1＞0

，由此求得它的定義域．
（2）對于函數y=f（x），由于它的定義域關于原點對稱，且f（-x）=-f（x），可得函數f（x）為奇函數．由于函數g（x）的定義域不關于原點對稱，可得函數g（x）為非奇非偶函數

解答：解：（1）由于已知函數 f（x）=log_a（x+1）-log_a（1-x），g（x）=log_a（x+1）+log_a（x-1）（其中a＞1），
要使f（x）有意義，則要：x+1＞0，且1-x＞0．
解得：-1＜x＜1，∴函數f（x）的定義域為{x|-1＜x＜1}．
對于函數g（x），由解析式可得

x+1＞0 x-1＞0

，解得x＞1，故它的定義域為（1，+∞）．
（2）對于函數y=f（x），由于它的定義域為（-1，1），關于原點對稱，且f（-x）=log_a（-x+1）-log_a（1+x）=-f（x），
故函數f（x）為奇函數．
由于函數g（x）的定義域為{x|x＞1}，不關于原點對稱，故函數g（x）既不是奇函數，也不是偶函數．

點評：本題主要考查對數函數的圖象和性質的綜合應用，判斷函數的奇偶性的方法，屬于中檔題．