Question

（1）已知圓C經過A（5，1），B（1，3）兩點，圓心在x軸上，求圓C的方程．
（2）求與圓x²+y²-2x+4y+1=0同心，且與直線2x-y+1=0相切的圓的方程．

Answer 1

分析：（1）根據垂徑定理可得弦AB的垂直平分線必然過圓心，故利用線段中點坐標公式求出AB的中點坐標，由A和B的坐標求出直線AB的斜率，根據兩直線垂直時斜率的乘積為-1求出線段AB垂直平分線的斜率，由求出的斜率與AB的中點坐標得出線段AB的垂直平分線方程，又圓心在x軸上，令求出的直線方程中y=0，求出x的值，可確定出圓心C的坐標，再由A和C的坐標，利用兩點間的距離公式求出|AC|的長，即為圓C的半徑，由圓心和半徑寫出圓C的標準方程即可．
（2）求出圓的圓心坐標，利用圓與直線相切，求出圓的半徑，即可得到圓的方程．

解答：解：（1）∵A（5，1），B（1，3），
∴線段AB的中點坐標為（

5+1

2

，

1+3

2

），即（3，2），
直線AB的斜率k_AB=

3-1

1-5

=-

1

2

，
∴線段AB垂直平分線的方程為y-2=2（x-3），即y=2x-4，
又圓心在x軸上，∴令y=0，得到2x-4=0，即x=2，
∴圓心C坐標為（2，0），
∴圓的半徑r=|AC|=

(5-2)2+(1-0)2

=

10

，
則圓C的方程為（x-2）²+y²=10． 
（2）解：所求圓的圓心坐標為 （1，-2），
因為直線與圓相切，所以圓的半徑為：

|2+2+1|

22+1

=

5

所以所求圓的方程為：（x-1）²+（y+2）²=5．

點評：此題考查了圓的標準方程，涉及的知識有：線段的中點坐標公式，兩直線垂直時斜率滿足的關系，直線的點斜式方程，一次函數與坐標軸的交點，兩點間的距離公式，以及垂徑定理的運用，根據題意確定出圓心C的坐標是解本題的關鍵，考查直線與圓相切的關系的應用，圓的方程的求法，考查計算能力．