Question

19、某公司打算在甲、乙兩地促銷同一種汽車，已知兩地的銷售利潤（單位：萬元）與銷售量（單位：輛）之間的關系分別為y₁=5.06t-0.15t²和y₂=2t，其中t為銷售量（t∈N）．公司計劃在這兩地共銷售15輛汽車．
（1）設甲地銷售量為x，試寫出公司能獲得的總利潤y與x之間的函數關系；
（2）求公司能獲得的最大利潤．

Answer 1

分析：（1）設甲地銷售量為x，那么乙地銷售量為15-x，則y=y₁+y₂，整理可得利潤y與x之間的函數關系；
（2）利潤函數y是x的二次函數，由二次函數的圖象與性質，可求得最大值．

解答：解：（1）設甲地銷售量為x（臺），則乙地銷售量為15-x（臺），則
y=y₁+y₂=5.06x-0.15x²+2（15-x）=-0.15x²+3.06x+30 （0≤x≤15，x∈N）；
（2）利潤函數y=-0.15x²+3.06x+30圖象為開口向下的拋物線
對稱軸為x=10.2，因x∈N，故當x=10時，總利潤y取得最大值，
最大值為y_max=-0.15×10²+3.06×10+30=45.6（萬元）．

點評：本題考查了二次函數模型的應用，結合二次函數的圖象與性質求函數的最值問題時，要注意自變量的取值范圍．