Question

已知向量

m

=(sinA，cosA)，

n

=(1，-2)，且

m

•

n

=0．
（1）求tanA的值；
（2）求函數f(x)=2

3

(1-2sin2x)+tanAsin2x的最大值和單調遞增區間．

Answer 1

分析：（1）利用向量的數量積和三角函數的商數關系即可得出；
（2）利用（1）的結論和倍角公式、兩角和差的正弦公式即可化為f（x）=4sin(2x-

π

3

)，再利用周期公式和正弦函數的單調性即可得出．

解答：解：（1）∵向量

m

=(sinA，cosA)，

n

=(1，-2)，且

m

•

n

=0．
∴sinA-2cosA=0，
∵cosA≠0，∴tanA=2．
（2）函數f(x)=2

3

(1-2sin2x)+tanAsin2x=-2

3

cos2x+2sin2x
=4(

1

2

sin2x-

3

2

cos2x)
=4sin(2x-

π

3

)．
∴當sin(2x-

π

3

)=1，即2x-

π

3

=2kπ+

π

2

，x=kπ+

5π

12

（k∈Z）時，f（x）取得最大值為4；
由2kπ-

π

2

≤2x-

π

3

≤2kπ+

π

2

，解得kπ-

π

12

≤x≤kπ+

5π

12

（k∈Z）．
∴函數f（x）的單調遞增區間為[kπ-

π

12

，kπ+

5π

12

](k∈Z)．

點評：熟練掌握三角函數的單調性、周期性、兩角和差的正弦余弦公式、商數關系、向量的數量積等是解題的關鍵．