Question

已知雙曲線的一條漸近線方程為y=

3

x，且其中一個焦點坐標為(

2 3

3

，0)
（1）求雙曲線的方程．
（2）若直線y-ax-1=0與該雙曲線交于A、B兩點，當a為何值時，A、B在雙曲線的同一支上？

Answer 1

分析：（1）先由雙曲線的漸近線方程為y=

3

x，可假設方程為：x2-

y2

3

=λ(λ＞0)，再由焦點為(

2 3

3

，0)可得雙曲線的標準方程．
（2）在方程組

y-ax-1=0 3x2-y2=1

中消去y得，（3-a²）x²-2ax-2=0．依題意知該方程有兩相異實根，且兩根同號．從而可建立不等關系，故可解．

解答：解：（1）由題意知 C=

2 3

3

且焦點在x軸上，
又∵雙曲線的一條漸近線方程為y=

3

x，
不妨令雙曲線方程為：x2-

y2

3

=λ(λ＞0)，
易知：a²=λb²=3λ，∴c2=4λ=

4

3

，
解得λ=

1

3

，
∴雙曲線方程為：

x2

1 3

-y=1，即 3x²-y=1…（6分）
（2）由

y=ax+1 3x2-y2=1

消去y知：（3-a²）x²-2ax-2=0，
依題意知該方程有兩相異實根，且兩根同號∴

3-a2≠0 - 2a 3-a2 ＞0 △=(2a)2+8(3-a2)＞0

解得：3＜a²＜6，即  -

6

＜a＜-

3

或  

3

＜a＜

6

綜上知：a∈(-

6

，-

3

)∪(

3

，

6

)…（12分）

點評：本題的考點是直線與圓錐曲線的綜合，主要考查考查雙曲線的標準方程，考查圓錐曲線的性質和應用，解題時要認真審題，注意等價轉化．