Question

一個棱柱的三視圖（正視圖長為a，寬為

2

的矩形，俯視圖是長為a，寬為1的矩形，側視圖是直角邊長分別為1和

2

的直角三角形）和直觀圖如圖所示，其中G是棱DF的中點．M是棱AB上一點．
（1）若M是AB的中點，求證：AG∥平面FMC；
（2）若棱AB上存在唯一的一點M，使得∠FMC=90°，求a的值；
（3）在（2）的條件下，求二面角D-FC-M的大小．

Answer 1

分析：（1）取FC的中點H，連接GH，HM，利用三角形中位線定理及矩形的幾何特征，我們結合線面平行的判定定理，易得AG∥平面FMC；
（2）連接DM，根據已知條件及空間線線垂直、線面垂直及面面垂直之間的關系，我們易得CM⊥DM，然后根據勾股定理構造方程，即可求出a的值；
（3）要求二面角D-FC-M的大小，我們要先求出二面角D-FC-M的大小的平面角，結合二的結論，我們易得∠DPQ即為二面角D-FC-M的平面角，解三角形DPQ即可得到答案．

解答：解：（1）取FC的中點H，連接GH，HM

∵G為DF的中點，
∴GH為△FDC的中位線
∴GH∥DC且GH=

1

2

DC
∵四邊形ABCD為矩形，且M是AB的中點
∴AM∥DC且AM=

1

2

DC
∴GH∥AM且GH=AM
∴四邊形AMHG為平行四邊形，
∴AG∥MH
又∵MH?平面FMC，AG?平面FMC，
∴AG∥平面FMC；
（2）連接DM
∵∠FMC=90°
∴CM⊥FM，
由已知FD⊥平面ABCD，且CM?平面ABCD
∴FD⊥CM
又∵FM∩FD=F
∴CM⊥平面FMD
∴CM⊥DM
設AM=t，t∈[0，a]，則BM=a-t，
由DM²+CM²=CD²得：t²+1+（a-t）²+1=a²，
即t²-at+1=0，t∈[0，a]，
由題意，可知△=a²-4=0
解得a=2，此時a=1
（3）作DP⊥FC于P，DQ⊥FM于Q，連接PQ
由（2）的結論得：CM⊥平面FDM
又∵CM?平面FMC
∴平面FMC⊥平面FDM
∵DQ⊥FM
∴DQ⊥平面FMC
又∵FC?平面FMC
∴DQ⊥FC
又∵DP⊥FC，DQ∩DP=D
∴FC⊥平面DPQ
∴FC⊥QP，
∴∠DPQ即為二面角D-FC-M的平面角，
在Rt△FDC中，∵DF=

2

，DC=2，
∴FC=

6

∴DP=

DF•DC

FC

=

2 3

3

在Rt△FDM中，DF=

2

，DM=

2

，
∴FM=2，DQ=1
在Rt△DPQ中，sin∠DPQ=

DQ

DP

=

3

2

∴∠DPQ=60°
即二面角D-FC-M的大小為60°

點評：本題考查的知識點是直線 與平面平等的判定，二面角的求法，根據三視圖判斷已知幾何中的相關直線的位置關系及大小是解答本題的基礎．