Question

已知函數f（x）滿足：對任意正數x₁＜x₂，有f（x₁）＞f（x₂），且f（x₁•x₂）=f（x₁）+f（x₂）．請寫出一個滿足條件的函數，則這個函數可以寫為f（x）=

lgx

（注：只需寫出一個函數即可）．

Answer 1

分析：先利用單調性的定義判斷函數為（0，+∞）上的增函數，再由運算性質f（x₁•x₂）=f（x₁）+f（x₂）可判斷函數可為對數函數，故只要寫一個對數增函數即可

解答：解：由條件“對任意正數x₁＜x₂，有f（x₁）＞f（x₂）”知此函數為（0，+∞）上的增函數
又由條件“f（x₁•x₂）=f（x₁）+f（x₂）”，可知此此性質可為對數函數性質lg（x₁•x₂）=lg（x₁）+lg（x₂）．
故此函數可以為f（x）=lgx
故答案為 lgx

點評：本題考查了抽象函數表達式反映函數性質的意義和應用，對數函數的性質和對數運算的性質，類比推理的能力