Question

已知等比數列{a_n}的公比q＞1，且a₁與a₄的一等比中項為4

2

，a₂與a₃的等差中項為6．
（I）求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）設S_n為數列{a_n}的前n項和，b_n=S_n+3+（-1）ⁿ⁺¹a_n²（n∈N^*），請比較b_n與b_n+1的大小；
（Ⅲ）數列{a_n}中是否存在三項，按原順序成等差數列？若存在，則求出這三項；若不存在，則加以證明．

Answer 1

分析：（I）由題意得

a2a3=a1•a4=(4 2 )2=32 a2+a3=2×6=12

，解此方程組能夠推導出數列{a_n}的通項公式．
（Ⅱ）a₁=2，Sn=

2(1-2n)

1-2

=2n+1-2，b_n=S_n+3+（-1）ⁿa_n²=（2ⁿ⁺⁴-2）+（-1）ⁿ⁺¹2²ⁿ，b_n+1=（2ⁿ⁺⁵-2）+（-1）ⁿ2^2（n+1），
b_n+1-b_n=2ⁿ[16+5（-1）ⁿ2ⁿ]．由此能夠推導出b_n+1＜b_n．
（Ⅲ）假設數列{a_n}中存在三項a_k，a_m，a_n（k＜m＜n）成等差數列，則a_k+a_n=2a_m，由k＜m＜n知1+2^n-k為奇數，2^m-k為偶數，從而某奇數=某偶數，產生矛盾．所以數列{a_n}中不存在三項，按原順序成等差數列．

解答：解：（I）由題意得

a2a3=a1•a4=(4 2 )2=32 a2+a3=2×6=12

，
解得

a2=4 a3=8

或

a2=8 a3=4

-（2分）
由公比q＞1，可得a₂=4，a₃=8，q=

a3

a2

=2．（3分）
故數列{a_n}的通項公式為a_n=a₂q^n-2=2ⁿ．（5分）

（Ⅱ）a₁=2，Sn=

2(1-2n)

1-2

=2n+1-2，（6分）
b_n=S_n+3+（-1）ⁿa_n²=（2ⁿ⁺⁴-2）+（-1）ⁿ⁺¹2²ⁿ，
b_n+1=（2ⁿ⁺⁵-2）+（-1）ⁿ2^2（n+1），
b_n+1-b_n=2ⁿ[16+5（-1）ⁿ2ⁿ]．（8分）
當n=1或為正偶數時，b_n+1-b_n＞0，b_n+1＞b_n；-（9分）
當n正奇數且n≥3時，b_n+1-b_n=2ⁿ（16-5×2ⁿ）≤2ⁿ（16-5×2³）＜0，b_n+1＜b_n．（10分）
（Ⅲ）假設數列{a_n}中存在三項a_k，a_m，a_n（k＜m＜n）成等差數列，（11分）
則a_k+a_n=2a_m，即2^k+2ⁿ=2^m，1+2^n-k=2^m-k，（12分）
由k＜m＜n知1+2^n-k為奇數，2^m-k為偶數，從而某奇數=某偶數，產生矛盾．（13分）
所以數列{a_n}中不存在三項，按原順序成等差數列．（14分）

點評：本題考查數列的性質和應用，解題時要認真審題，注意公式的合理運用．