Question

【題目】已知直線l與拋物線C：y2＝4x交于A，B兩點(diǎn)，M(2，y0)(y0≠0)為弦AB的中點(diǎn)，過M作AB的垂線交x軸于點(diǎn)P

（1）求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（2）當(dāng)弦AB最長時(shí)，求直線l的方程.

Answer 1

【答案】（1）；（2）或

【解析】

（1）設(shè)出直線方程，聯(lián)立拋物線方程，由中點(diǎn)坐標(biāo)即可得相關(guān)等式，求出AB的垂線，求其與軸的交點(diǎn)即可；

（2）利用（1）中結(jié)論，求弦長的最值，求得當(dāng)弦長最大時(shí)直線的方程即可.

（1）設(shè)直線方程為

聯(lián)立拋物線方程，

可得：

當(dāng)時(shí)，

設(shè)

故

因?yàn)?/span>M(2，y0)為弦AB的中點(diǎn)

故，整理得：①

又點(diǎn)M(2，y0)在直線AB上，故②

故過M與AB垂直的直線方程為：

令，解得

用①-②可得：

因?yàn)?/span>，故，則

即可得，

故與AB垂直的直線與軸的交點(diǎn)為.

（2）由弦長公式可得：

又因?yàn)?/span>解得

由①可知，代入上式得

故當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)，弦長取得最大值；

此時(shí)直線方程為：

整理即為：或.

即弦長最大時(shí)，直線方程為：或.