Question

如圖，點A在銳二面角α-MN-β的棱MN上，在面α內引射線AP，使AP與MN所成的角∠PAM為45°，與面β所成的二面角大小為30°，求二面角α-MN-β的大小．

Answer 1

答案：略
解析：

解：在射線AP上取一點B，作BH⊥β于H，連結AH，則∠BAH為射線AP與平面β所成的角，∴∠BAH=30°再作BQ⊥AM，交MN于Q，連結HQ，則HQ為BQ在平面β內的射影．由三垂線定理的逆定理，知HQ⊥MN， ∴∠BQH為二面角α-NM-β的平面角． 設BQ=a，在Rt△BAQ中，∠BAQ=90°，∠BAM=45°，， ∴在Rt△ABH中，∠BAH=30°， ∴． ∴在Rt△BHQ中，∠BHQ=90°， BQ=a，， ． ∵∠BQH是銳角，∴∠BQH=45°，即二面角α-NM-β等于45°

提示：

首先根據條件作出二面角的平面角，然后將平面角放入一個可解的三角形中(最好是直角三角形)，通過解三角形使問題得到解決． 本題綜合性較強，在一個圖形中出現了兩條直線所成的角，斜線與平面所成的角，二面角等空間角，這些空間角都要轉化為平面角，而且還要彼此聯系相互依存，要根據各自的定義添加適當的輔助線．