Question

已知函數(shù)f（x）=ax²+a²x+2b-a³，當(dāng)x∈（-∞，-2）∪（6，+∞）時(shí)，f（x）＜0；當(dāng)x∈（-2，6）時(shí)，f（x）＞0．
（Ⅰ）求a、b的值；
（Ⅱ）設(shè)F(x)=-

k

4

f(x)+4(k+1)x+2(6k-1)，則當(dāng)k 取何值時(shí)，函數(shù)F（x）的值恒為負(fù)數(shù)？

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據(jù)函數(shù)解析式，結(jié)合當(dāng)x∈（-∞，-2）∪（6，+∞）時(shí)，f（x）＜0；當(dāng)x∈（-2，6）時(shí)，f（x）＞0，可得參數(shù)a，b的關(guān)系式，從而可求a、b的值；
（Ⅱ）欲使F（x）＜0恒成立，只要使kx²+4x-2＜0恒成立，對(duì)k討論，即可求得函數(shù)F（x）的值恒為負(fù)數(shù)時(shí)k的值．

解答：解：（Ⅰ）由題意，∵f（x）=ax²+a²x+2b-a³
又x∈（-2，6），f（x）＞0；x∈（-∞，-2）∪（6，+∞），f（x）＜0．
∴-2和6是方程ax²+a²x+2b-a³=0的兩根．
故

-2+6=-a -2×6= 2b-a3 a

解得 

a=-4 b=-8

此時(shí)，f（x）=-4x²+16x+48
（Ⅱ）∵F(x)=-

k

4

(-4x2+16x+48)+4(k+1)+2(6k-1)=kx2+4x-2
∴欲使F（x）＜0恒成立，只要使kx²+4x-2＜0恒成立，則須要滿足：
①當(dāng)k=0時(shí)，原不等式化為4x-2＜0，顯然不合題意，舍去．
②當(dāng)k≠0時(shí)，要使二次不等式的解集為x∈R，則必須滿足：

k＜0 △=42-4k×(-2)＜0

，解得k＜-2
綜合①②得k的取值范圍為（-∞，-2）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查不等式的解集與方程解的關(guān)系，考查恒成立問(wèn)題，考查學(xué)生的計(jì)算能力，求得函數(shù)的解析式是關(guān)鍵．