Question

已知雙曲線E：的左焦點為F，左準線l與x軸的交點是圓C的圓心，圓C恰好經過坐標原點O，設G是圓C上任意一點．
（Ⅰ）求圓C的方程；
（Ⅱ）若直線FG與直線l交于點T，且G為線段FT的中點，求直線FG被圓C所截得的弦長；
（Ⅲ）在平面上是否存在定點P，使得對圓C上任意的點G有？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ）由雙曲線E： ，得l：x=﹣4，C（﹣4，0），F（﹣6，0）．
又圓C過原點，所以圓C的方程為（x+4）²+y²=16．   
（Ⅱ）由題意，設G（﹣5，y_G），代入（x+4）²+y²=16，得 ，
所以FG的斜率為 ，FG的方程為 ．
所以C（﹣4，0）到FG的距離為 ，
直線FG被圓C截得的弦長為 
（Ⅲ）設P（s，t），G（x₀，y₀），則由 ，
得 
整理得3（x₀²+y₀²）+（48+2s）x₀+2ty₀+144﹣s²﹣t²=0．①
又G（x₀，y₀）在圓C：（x+4）²+y²=16上，所以x₀²+y₀²+8x₀=0   ②
②代入①，得（2s+24）x₀+2ty₀+144﹣s²﹣t²=0．
又由G（x₀，y₀）為圓C上任意一點可知，
解得：s=﹣12，t=0．
所以在平面上存在一定點P，其坐標為（﹣12，0）．