Question

(07年四川卷文)（12分）如圖，平面平面，，，直線與直線所成的角為60°，又，，．

（Ⅰ）求證：；

（Ⅱ）求二面角的大小；

（Ⅲ）求多面體的體積．

Answer 1

解析：本題主要考查異面直線所成的角、平面與平面垂直、二面角、棱錐體積等有關知識，考查思維能力和空間想象能力、應用向量知識解決數學問題的能力、化歸轉化能力和推理運算能力．

（Ⅰ）∵平面平面，，平面．

∴平面

又∵平面

∴

（Ⅱ）取的中點，則．連接、．

 

∵平面平面，平面平面，．

∴平面．

∵，∴，從而平面．

作于，連結，則由三垂線定理知．

從而為二面角的平面角．

∵直線與直線所成的角為60°，

∴ ．

在中，由勾股定理得．

在中，．

在中，．

在中，

故二面角的大小為

（Ⅱ）如圖以為原點建立空間直角坐標系．

 

設，

有，，．

，

由直線與直線所成的角為60°，得

即，解得．

∴，

設平面的一個法向量為，則

由，取，得

取平面的一個法向量為

則

由圖知二面角為銳二面角，

故二面角的大小為．

（Ⅲ）多面體就是四棱錐