Question

橢圓的右焦點(diǎn)為，右準(zhǔn)線為，離心率為，點(diǎn)在橢圓上，以為圓心，為半徑的圓與的兩個(gè)公共點(diǎn)是．

（1）若是邊長為的等邊三角形，求圓的方程；

（2）若三點(diǎn)在同一條直線上，且原點(diǎn)到直線的距離為，求橢圓方程．

 

Answer 1

【答案】

（1）。（2）． 

【解析】

試題分析：設(shè)橢圓的半長軸是，半短軸是，半焦距離是，

由橢圓的離心率為，可得橢圓方程是，        2分

（只要是一個(gè)字母，其它形式同樣得分，）

焦點(diǎn)，準(zhǔn)線，設(shè)點(diǎn)，

（1）是邊長為的等邊三角形，

則圓半徑為，且到直線的距離是，

又到直線的距離是，

所以，，，所以

所以，圓的方程是。              6分

（2）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013061007474942742656/SYS201306100749489007598842_DA.files/image021.png">三點(diǎn)共線，且是圓心，所以是線段中點(diǎn)，

由點(diǎn)橫坐標(biāo)是得，，           8分

再由得：，，

所以直線斜率             10分

直線：，            12分

原點(diǎn)到直線的距離，

依題意，，所以，

所以橢圓的方程是．            15分

考點(diǎn)：本題考查了圓與橢圓

點(diǎn)評：解答此類綜合題時(shí)，應(yīng)根據(jù)其幾何特征熟練的轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系（如方程、函數(shù)），再結(jié)合代數(shù)方法解答，這就要學(xué)生在解決問題時(shí)要充分利用數(shù)形結(jié)合、設(shè)而不求、弦長公式及韋達(dá)定理綜合思考，重視對稱思想、函數(shù)與方程思想、等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用