Question

已知數列的前項和為，點在直線上．數列滿足

，，且其前9項和為153.

（Ⅰ）求數列，的通項公式；

（Ⅱ）設，數列的前項和為，求使不等式對一切都成立的最大正整數的值．

 

Answer 1

【答案】

解：（Ⅰ）由已知得，                         

                                             …………1分

當時，

          …………3分

當時，也符合上式．      （沒有檢驗扣1分）                       

 ，    .                                     …………4分

由 知是等差數列，              …………5分

由的前9項和為153，可得，

得，又，                        

∴的公差，                         

由 ，得，

∴，    .                                   …………7分

（Ⅱ） ，                    …………9分

                                             …………10分

∵增大， 減小 ， 增大，

∴是遞增數列．                   

∴.  即的最小值為                           …………12分

要使得對一切都成立，只要，

，則.                                      …………14分

【解析】本試題主要是考查了數列的通項公式的求解和求和的運用。

（1））由已知得，利用前n項和與通項公式的關系得到通項公式的結論。

（2）因為，利用裂項求和得到結論。，并證明不等式。