Question

某商店在近30天內每件的銷售價格p元與時間t天的函數關系式是：p=

t+20(0＜t＜25，t∈N*) -t+60(25≤t≤30，t∈N*)

，該商品的日銷售量Q件與時間t天的函數關系式是Q=-t+40（0＜t≤30，t∈N^*），那么這種商品在第幾天日銷售金額的最大？最大值是多少？

Answer 1

分析：應充分考慮自變量的范圍不同銷售的價格表達形式不同，分情況討論即可獲得日銷售金額y關于時間t的函數關系式，根據分段函數不同段上的表達式，分別求最大值最終取較大者分析即可獲得問題解答．

解答：解：由題意可知：日銷售金額y=

(t+20)(-t+40)  ，(0＜t＜25，t∈N*) (-t+60)(-t+40)  ，(25≤t≤30，t∈N*)

．
即y=

-t2+20t+800 ，(0＜t＜25，t∈N*) t2-100t+2400  ，(25≤t≤30，t∈N*)

（2）當0＜t＜25，t∈N₊時，y=（t+20）（-t+40）=-t²+20t+800=-（t-10）²+900．
∴t=10（天）時，y_max=900（元），
當25≤t≤30，t∈N₊時，y=（-t+60）（-t+40）=t²-100t+2400=（t-50）²-100，
而y=（t-50）²-100，在t∈[25，30]時，函數遞減．
∴t=25（天）時，y_max=525（元）．
∵525＜900，∴y_max=900（元）．
故所求日銷售金額的最大值為900元，且在最近30天中的第10天日銷售額最大．

點評：本題考查的是分段函數應用類問題．在解答的過程當中充分體現了分類討論的思想、二次函數球最值得方法以及問題轉化的能力．值得同學們體會反思．