Question

（2009•昆明模擬）甲、乙兩人進行某種比賽，各局勝負相互獨立，約定每局勝者得1分，負者得0分，無平局，比賽進行到有一人比對方多2分時結束，已知甲在每局中獲勝的概率均為P（其中P＞

1

2

）．賽完后兩局比賽結束的概率為

5

9

．
（I）求P；
（II）求賽完四局比賽結束且乙比甲多2分的概率．

Answer 1

分析：設事件A_i表示“甲第i局獲勝”，事件B_i表示“乙第i局獲勝”，則P（A_i）=p，P（B_i）=1-p
（I）設“賽完兩局比賽結束”為事件C，P（C）=P（A₁•A₂+B₁•B₂），利用相互獨立事件的概率公式，結合賽完后兩局比賽結束的概率為

5

9

，建立方程，可求p；
（II）設“賽完四局比賽結束且乙比甲多2分”為事件D，則D=B₁•A₂•B₃•B₄+A₁•B₂•B₃•B₄，利用相互獨立事件的概率公式，可得結論．

解答：解：設事件A_i表示“甲第i局獲勝”，事件B_i表示“乙第i局獲勝”，則P（A_i）=p，P（B_i）=1-p
（I）設“賽完兩局比賽結束”為事件C，則C=A₁•A₂+B₁•B₂，則P（C）=

5

9

即P（A₁•A₂+B₁•B₂）=P（A₁•A₂）+P（B₁•B₂）=

5

9

所以p²+（1-p）²=

5

9

，所以p2-p+

2

9

=0，解得p=

1

3

或

2

3

因為p＞

1

2

，所以p=

2

3

； （6分）
（II）設“賽完四局比賽結束且乙比甲多2分”為事件D，
則D=B₁•A₂•B₃•B₄+A₁•B₂•B₃•B₄，
∴P（D）=P（B₁•A₂•B₃•B₄+A₁•B₂•B₃•B₄）=

1

3

×

2

3

×

1

3

×

1

3

+

2

3

×

1

3

×

1

3

×

1

3

=

4

81

  （12分）

點評：本題考查概率的運用，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．