Question

已知方程x²+4ax+3a+1=0（a為大于1的常數）的兩根為tanα，tanβ，且α、β∈（-

π

2

，

π

2

），則tan

α+β

2

的值是

-2

．

Answer 1

分析：根據韋達定理表示出tanα+tanβ和tanαtanβ，然后利用兩角和的正切函數公式求出tan（α+β）的值，然后根據半角的三角函數公式列出關于tan

α+β

2

的方程，求出方程的解即可得到tan

α+β

2

的值，根據α和β的范圍求出α+β的范圍，進而求出

α+β

2

的范圍，即可得到滿足題意的tan

α+β

2

的值．

解答：解：由方程x²+4ax+3a+1=0（a為大于1的常數）的兩根為tanα，tanβ，
得到tanα+tanβ=-4a＜0，tanαtanβ=3a+1＞，
則tan（α+β）=

tanα+tanβ

1-tanαtanβ

=

-4a

1-(3a+1)

=

4

3

＞0，tanα＜0，tanβ＜0，
又因為α、β∈（-

π

2

，

π

2

），得到α+β∈（-π，π），
所以α+β∈（-π，-

π

2

），則

α+β

2

∈（-

π

2

，-

π

4

），
而tan（α+β）=

2tan α+β 2

1-tan2 α+β 2

，
所以

2tan α+β 2

1-tan2 α+β 2

=

4

3

，即（2tan

α+β

2

-1）（tan

α+β

2

+2）=0，
解得tan

α+β

2

=

1

2

（不合題意，舍去），tan

α+β

2

=-2，
故答案為：-2

點評：此題考查學生靈活運用兩角和的正切函數公式及半角函數公式化簡求值，是一道綜合題．學生在求出tan

α+β

2

的值后，會利用角度的范圍舍去不合題意的值．