Question

（04年湖南卷理）（14分）

如圖，直線與相交于點P。直線與x軸交于點，過點作x軸的垂線交直線于點，過點作軸的垂線直線于點，過點作x軸的垂線交直線于點，…，這樣一直作下去，可得到一系列點，，，，…。點的橫坐標構成數列。

（Ⅰ）證明；

（Ⅱ）求數列的通項公式；

（Ⅲ）比較與的大小。

 

Answer 1

解析：（Ⅰ）證明：設點P_n的坐標是，由已知條件得

點Q_n、P_n+1的坐標分別是：

由P_n+1在直線l₁上，得 

所以    即 

（Ⅱ）解：由題設知 又由（Ⅰ）知 ，

所以數列  是首項為公比為的等比數列.

從而 

（Ⅲ）解：由得點P的坐標為（1，1）.

所以 

   

（i）當時，>1+9=10.

而此時 

（ii）當時，<1+9=10.

而此時