Question

如圖，四面體ABCD中，△ABD和△BCD均為等邊三角形，BD=2，O是BD的中點，且AO⊥平面BCD．
（1）求二面角A-BC-D的大小（結果用反三角函數表示）；
（2）求點O到平面ACD的距離．

Answer 1

分析：（1）以O為原點，OB、OC、OA所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標系，分別求出平面BCD，面ABC的一個法向量，利用兩個發向量夾角求解．
（2）求出平面ACD的一個法向量

m

，點O到平面ACD的距離 為

AO

在

m

方向上投影的絕對值．

解答：解：（1）因為△ABD和△BCD都是等邊三角形，O是BD中點，所以AO⊥BD，CO⊥BD，以O為原點，OB、OC、OA所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標系．…（1分）
則O（0，0，0），A(0，0，

3

)，B（1，0，0），C(0，

3

，0)，D（-1，0，0），…（2分）
因為AO⊥平面BCD，所以平面BCD的一個法向量為

OA

=(0，0，

3

)，…（3分）

AB

=(1，0，-

3

)，

BC

=(-1，

3

，0)，
設平面ABC的一個法向量為

n

=(x，y，z)，
則

n

⊥

AB

，

n

⊥

BC

，所以

n

•

AB

=0，

n

•

BC

=0，
即

x- 3 z=0 -x+ 3 y=0

，令z=1，得x=

3

，y=1，所以

n

=(

3

，1，1)，…（5分）
設

OA

與

n

的夾角為θ，則cosθ=

OA • n

| OA |•| n |

=

3

3 • 5

=

5

5

，…（6分）
由圖形可知，二面角A-BC-D為銳角，
所以二面角A-BC-D的大小為arccos

5

5

．…（7分）
（2）設平面ACD的一個法向量為

m

=(u，v，w)，則

m

⊥

DA

，

m

⊥

DC

，
又

DA

=(1，0，

3

)，

DC

=(1，

3

，0)，…（8分）
所以，由

m • DA =0 m • DC =0

，得

u+ 3 w=0 u+ 3 v=0

，令u=-

3

，則v=1，w=1，
故

m

=(-

3

，1，1)，…（10分）
因為

OA

•

m

=

3

，|

m

|=

5

，…（12分）
所以點O到平面ACD的距離為

| OA • m |

| m |

=

3

5

=

15

5

．…（14分）

點評：本題考查二面角、空間距離大小計算．考查空間想象能力、邏輯思維能力和運算能力．