Question

如下圖所示,作邊長為a的正三角形的內切圓,在這個圓內作內接正三角形,然后,再作新三角形的內切圓.如此下去,求前n個內切圓的面積和.

Answer 1

答案：
解析：

解:設第n個正三角形的內切圓的半徑為an. 因為從第2個正三角形開始,每一個正三角形的邊長是前一個正三角形邊長的,每一個正三角形內切圓的半徑也是前一個正三角形內切圓半徑的,故a1=atan30°=a×=a,a2=a1,…,an=an-1. ∴數列{an}是首項為a,公比為的等比數列.∴an=×()n-1a. 設前n個內切圓的面積和為Sn,則 Sn=π(a12+a22+…+an2)=πa12［1+()2+()2+()2］=πa12［1+()+()2+…+()n-1］=×(1-)π=(1-)π. 答:前n個內切圓的面積和是(1-)π.