Question

如圖，四棱錐S-ABCD的底面是正方形，SD⊥平面ABCD，SD=AD=a，點E是線段SD上任意一點．
（1）求證：AC⊥BE；
（2）若二面角C-AE-D的大小為60°，求線段ED的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）以D為坐標原點，以DA為x軸，DC為y軸，DS為z軸，建立空間直角坐標系，設DE=t，求出向量和的坐標，然后利用數量積為零證得AC⊥BE；
（2）取平面ADE的一個法向量為=（0，1，0）．設平面ACE的一個法向量為=（x，y，z），利用=0求出，最后根據cos60°==求出t，即可求出所求．
解答：解：（1）以D為坐標原點，建立空間直角坐標系．D（0，0，0），A（a，0，0），B（a，a，0），C（0，a，0）．設DE=t，
則E（0，0，t）（2分）
=（-a，-a，t），（4分）
∵+0=0，∴AC⊥BE．（6分）
（2）取平面ADE的一個法向量為=（0，1，0）．（7分）
設平面ACE的一個法向量為=（x，y，z），，=（-a，0，t），
由=0得，
∴y=x，z=x．取，（10分）
由cos60°==（12分）
得t=a，因此DE=a．（14分）
點評：本題主要考查了直線與平面垂直的性質，以及利用空間向量的方法求證垂直和求距離等有關問題，屬于中檔題．