Question

已知函數f（x）=3ax²+2bx+c，且a+b+c=0，f（0）＞0，f（1）＞0，
（1）證明a＞0．
（2）證明方程f（x）=0在區間（0，1）內有兩個實數根．

Answer 1

分析：（1）根據函數解析式代入f（0）＞0、f（1）＞0，得c＞0且3a+2b+c＞0，結合a+b+c=0化簡即可得到a＞0；
（2）利用a+b+c=0化簡得f（

1

2

）=-

1

4

a，結合a＞0可得f（

1

2

）＜0．由f（

1

2

）與f（0）、f（1）都異號，利用根的存在性定理得f（x）=0在區間（0，

1

2

）和（

1

2

，1）內各有一根，由此可得f（x）=0在區間（0，1）內有兩個實數根．

解答：解：（1）∵f（x）=3ax²+2bx+c，
∴f（0）＞0即c＞0；f（1）＞0即3a+2b+c＞0
∵a+b+c=0
∴

-a-b＞0 2a+b＞0

，兩式相加可得a＞0；
（2）∵f（

1

2

）=

3

4

a+b+c=（a+b+c）-

1

4

a
∴結合a＞0且a+b+c=0，得f（

1

2

）=-

1

4

a＜0
又∵f（0）＞0，f（1）＞0，
∴f（0）f（

1

2

）＜0且f（1）f（

1

2

）＜0
由根的存在性定理，得
f（x）=0在區間（0，

1

2

）和（

1

2

，1）內分別有一個根
∴方程f（x）=0在區間（0，1）內有兩個實數根．

點評：本題給出二次函數f（x）=3ax²+2bx+c滿足的條件，求證a為正數并討論程f（x）=0在區間（0，1）內根的情況．著重考查了二次函數的性質、不等式的性質和函數零點存在性定理等知識，屬于中檔題．