Question

已知等差數列{a_n}中，a₁=-1，前12項和S₁₂=186．
（Ⅰ）求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）若數列{b_n}滿足，記數列{b_n}的前n項和為T_n，若不等式T_n＜m對所有n∈N*恒成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）根據等差數列{a_n}中，a₁=-1，前12項和S₁₂=186，求得公差，可求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）把數列{a_n}的通項公式代入，證明數列{b_n}是等比數列，根據等比數列求和公式求得T_n，求T_n的最大值．
解答：解：（Ⅰ）設等差數列{a_n}的公差為d，∵a₁=-1，S₁₂=186，
∴，即186=-12+66d．∴d=3．
所以數列{a_n}的通項公式a_n=-1+（n-1）×3=3n-4．
（Ⅱ）∵，a_n=3n-4，∴．
∵當n≥2時，，
∴數列，故．是等比數列，首項，公比．
∴．
∵，又不等式T_n＜m對n∈N*恒成立，
而單調遞增，且當n→∞時，，
∴m≥．
點評：考查等差數列、等比數列的通項公式和前n項和公式，及它們之間的相互轉化，體現了極限的思想方法，屬中檔題．