Question

已知拋物線y²=4ax(a＞0)的焦點為F,以A(a+4,0)為圓心,|AF|為半徑的圓在x軸的上方與該拋物線交于點M、N.

(1)求證:A點在以M、N為焦點且過F的橢圓上;

(2)設P是MN的中點,是否存在這樣的正實數a,使得|PF|是|FM|和|FN|的等差中項?若存在,求出a的值;如不存在,請說明理由.

Answer 1

(1)證明：設圓A的方程為(x-a-4)²+y²=16,將y²=4ax代入得x²+(2a-8)x+a²+8a=0.

    設M(x₁,y₁)、N(x₂,y₂),則x₁+x₂=8-2a,x₁x₂=a²+8a.

    由題意Δ=(2a-8)²-4(a²+8a)＞0,

∴0＜a＜1.

    由拋物線定義知|MF|=x₁+a,|NF|=x₂+a,

∴橢圓的長軸長為|MF|+|NF|=x₁+x₂+2a=(8-2a)+2a=8.

    又|AM|+|AN|=2|AF|=8,

∴A點在以M、N為焦點且過F的橢圓上.

(2)解：假設存在滿足條件的正實數a,則由2|FP|=|MF|+|NF|=8,知|FP|=4.

    設P(x₀,y₀),則

x₀==4-a,y₀==.

    由|FP|=4,得(a-x₀)²+y₀²=16,即(2a-4)²+(-2a²+8a+2a)=16.

    整理得a(a-4+)=0,

∴a₁=0,a₂=1.

    此時a₁、a₂(0,1),

∴滿足條件的正實數a不存在.