Question

已知數列{a_n}是首項為a且公比q不等于1的等比數列，S_n是其前n項的和，a₁，2a₇，3a₄成等差數列．
（I）證明12S₃，S₆，S₁₂-S₆成等比數列；
（II）求和T_n=a₁+2a₄+3a₇+…+na_3n-2．

Answer 1

分析：（1）由a₁，2a₇，3a₄成等差數列，我們得到一個關于數列基本量（首項和公比）的方程，由于首項為a，則易求出公式，然后根據等比數列的定義判斷即可．
（2）由于T_n=a₁+2a₄+3a₇+…+na_3n-2中累加的每一項都是由兩部分的積組成，這兩部分一部分是等差數列，一部分是等比數列，故可用錯位相消法解答．

解答：（Ⅰ）證明：由a₁，2a₇，3a₄成等差數列，得4a₇=a₁+3a₄，
即4aq⁶=a+3aq³．
變形得（4q³+1）（q³-1）=0，
又∵公比q不等于1，所以4q³+1=0
由

S6

12S3

=

a1(1-q6) 1-q

12a1(1-q3) 1-q

=

1+q3

12

=

1

16

．

S12-S6

S6

=

S12

S6

-1=

a1(1-q12) 1-q

a1(1-q6) 1-q

-1=1+q6-1=q6=

1

16

．
得

S6

12S3

=

S12-S6

S6

．
所以12S₃，S₆，S₁₂-S₆成等比數列．
（Ⅱ）解：T_n=a₁+2a₄+3a₇+…+na_3n-2=a+2aq³+3aq⁶+…+naq^3（n-1）．
即Tn=a+2•(-

1

4

)a+3•(-

1

4

)2a+…+n•(-

1

4

)n-1a．①
①×(-

1

4

)得：-

1

4

Tn=-

1

4

a+2•(-

1

4

)2a+3•(-

1

4

)3a+…+(n-1)•(-

1

4

)n-1a+n(-

1

4

)na…②．
①-②得

5

4

Tn=

a[1-(- 1 4 )n]

1-(- 1 4 )

-n•(-

1

4

)na=

4

5

a-(

4

5

+n)•(-

1

4

)na．
所以Tn=

16

25

a-(

16

25

+

4

5

n)•(-

1

4

)na．

點評：要判斷一個數列是否為等差（比）數列，我們常用如下幾種辦法：①定義法，判斷數列連續兩項之間的差（比）是否為定值；②等差（比）中項法，判斷是否每一項都是其前一項與后一項的等差（比）中項；③通項公式法，判斷其通項公式是否為一次（指數）型函數；④前n項和公式法．