Question

（1）用反證法證明：如果x＞

1

2

，那么x²+2x-1≠0；
（2）用數學歸納法證明：

1

1×3

+

1

3×5

+…+

1

(2n-1)×(2n+1)

=

n

2n+1

(n∈N*)．

Answer 1

分析：（1）假設x²+2x-1=0，則x=-1±

2

，可得-1+

2

＜

1

2

，-1-

2

＜

1

2

，都與已知x＞

1

2

相矛盾，故假設錯誤，故x²-6x-4≠0成立．
（2）直接利用數學歸納法的證明步驟證明不等式，（1）驗證n=1時不等式成立；（2）假設當n=k（k≥1）時成立，證明n=k+1時，不等式也成立．

解答：（1）證明：假設x²+2x-1=0，則x=-1±

2

，
要證：-1+

2

＜

1

2

，只需證：

2

＜

3

2

，只需證：2＜

9

4

上式顯然成立，故有-1+

2

＜

1

2

．而-1-

2

＜

1

2

，
綜上，-1+

2

＜

1

2

，-1-

2

＜

1

2

，都與已知x＞

1

2

相矛盾，
因此假設不成立，也即原命題成立．
（2）證明：①當n=1時，左邊=

1

1×3

，右邊=

1

2×1+1

=

1

3

∴n=1時成立，
②假設當n=k（k≥1）時成立，即

1

1×3

+

1

3×5

+…+

1

(2k-1)×(2k+1)

=

k

2k+1

(k∈N*)
那么當n=k+1時，左邊=

1

1×3

+

1

3×5

+…+

1

(2k-1)×(2k+1)

+

1

(2k+1)(2k+3)

=

k

2k+1

+

1

(2k+1)(2k+3)

=

k(2k+3)+1

(2k+1)(2k+3)

=

(2k+)(k+1)

(2k+1)(2k+3)

=

k+1

2k+3

∴n=k+1時也成立．
根據①②可得不等式對所有的n≥1都成立．

點評：考查數學歸納法的證明步驟，注意不等式的證明方法，放縮法的應用，用反證法證明數學命題，推出矛盾，是解題的關鍵和難點，考查邏輯推理能力．