Question

已知p和q是兩個不相等的正整數，且q≥2，則

lim

n→∞

(1+ 1 n )p-1

(1+ 1 n )q-1

=（　　）

A．0

B．1

C． p q

D． p-1 q-1

Answer 1

解析：法一特殊值法，由題意取p=1，q=2，
則

lim

n→∞

(1+ 1 n )p-1

(1+ 1 n )q-1

=

lim

n→∞

1 n

1 n2 + 2 n

=

lim

n→∞

n

1+2n

=

1

2

=

p

q

，可見應選C
法二∵1+(1+x)+(1+x)2++(1+x)m-1=

1-(1+x)m

1-(1+x)

∴（1+x）^m-1=x[1+（1+x）+（1+x）²+（1+x）^m-1]
令x=

1

n

，m分別取p和q，則原式化為

lim

n→∞

(1+ 1 n )p-1

(1+ 1 n )q-1

=

lim

n→∞

1 n [1+(1+ 1 n )+(1+ 1 n )2+(1+ 1 n )p-1]

1 n [1+(1+ 1 n )+(1+ 1 n )2+(1+ 1 n )q-1]

∵

lim

n→∞

(1+

1

n

)=1，

lim

n→∞

(1+

1

n

)2=1，，

lim

n→∞

(1+

1

n

)p-1=1，
所以原式=

1+1++1

1+1++1

=

p

q

（分子、分母1的個數分別為p個、q個）
故選C．