Question

（2008•天河區模擬）如圖：正△ABC與Rt△BCD所在平面互相垂直，且∠BCD=90°，∠CBD=30°．
（1）求證：AB⊥CD；
（2）求二面角D-AB-C的正切值．

Answer 1

分析：（1）利用平面ABC⊥平面BCD，平面ABC∩平面BCD=BC，可得DC⊥平面ABC，利用線面垂直的性質，可得DC⊥AB；
（2）過C作CE⊥AB于E，連接ED，可證∠CED是二面角D-AB-C的平面角．設CD=a，則BC=

a

tan30°

=

3

a，從而EC=BCsin60°=

3a

2

，在Rt△DEC中，可求tan∠DEC．

解答：（1）證明：∵DC⊥BC，且平面ABC⊥平面BCD，平面ABC∩平面BCD=BC，
∴DC⊥平面ABC，
又AB?平面ABC，
∴DC⊥AB．…（5分）
（2）解：過C作CE⊥AB于E，連接ED，
∵AB⊥CD，AB⊥EC，CD∩EC=C，
∴AB⊥平面ECD，
又DE?平面ECD，∴AB⊥ED，
∴∠CED是二面角D-AB-C的平面角，…（9分）
設CD=a，則BC=

a

tan30°

=

3

a，
∵△ABC是正三角形，
∴EC=BCsin60°=

3a

2

，
在Rt△DEC中，tan∠DEC=

DC

EC

=

a

3a 2

=

2

3

．…（13分）

點評：本題以面面垂直為載體，考查面面垂直、線面垂直的性質，考查面面角，解題的關鍵是正確作出線面角，有一定的綜合性．