Question

（1）已知a，b，c為兩兩不相等的實數，求證：a²+b²+c²＞ab+bc+ca；
（2）設a，b，c∈（0，+∞），且．

Answer 1

證明：（1）要證a²+b²+c²＞ab+bc+ca，只需證2（a²+b²+c²）＞2（ab+bc+ca）
即證（a+b）²+（b+c）²+（a+c）²＞0，
因為a，b，c是不全相等的實數，所以（a+b）²＞0，（b+c）²＞0，（a+c）²＞0，
所以（a+b）²+（b+c）²+（a+c）²＞0顯然成立．
所以a²+b²+c²＞ab+bc+ca；
（2）∵a、b、c∈（0，+∞）且a+b+c=1，
∴≥=8
當且僅當a=b=c=時等號成立．
分析：（1）利用分析法，從結果入手，再利用配方法，即可證得結論；
（2）利用“1”的代換，再利用基本不等式，即可得到結論．
點評：本題考查不等式的證明，考查分析法、綜合法的運用，考查基本不等式，正確運用分析法是解題的關鍵．