Question

已知數列是等差數列,數列是等比數列,且對任意的,都有.

   (1)若的首項為4,公比為2,求數列的前項和;

   (2)若.

     ①求數列與的通項公式;

②試探究:數列中是否存在某一項,它可以表示為該數列中其它項的和？若存在,請求出該項；若不存在,請說明理由．

Answer 1

解: (1)因為,所以當時, ,兩式相減,得,

而當時,,適合上式,從而……………………3分

又因為是首項為4,公比為2的等比數列,即,所以………………4分

從而數列的前項和…………6分

(2)①設,則,所以,

設的公比為,則對任意的恒成立  ……………8分

即對任意的恒成立,

又,故,且……………………………………………………10分

從而……………………………………………………………………11分

②假設數列中第k項可以表示為該數列中其它項

的和,即,從而,易知  (*)………13分

又,

所以,此與(*)矛盾,從而這樣的項不存在…………………………………………16分