Question

選修4-1：幾何證明選講
如圖，AD是△ABC的角平分線，經過點A、D的⊙D和BC切于D，且與AB、AC相交于E、F，連結DF．
（I）求證：EF∥BC；
（II）求證：DF²=AF•BE．

Answer 1

證明：（I）∵⊙O切BC于D，
∴∠CAD=∠CDF，
∵AD是△ABC的角平分線，
∴∠BAD=∠DAC，
又∠BAD=∠EFD，
∴∠EFD=∠CDF，
∴EF∥BC．
（II）連接DE，
∵⊙O切BC于D，∴∠BAD=∠BDE．
由（I）可得∠BDE=∠FAD，
又∵⊙O內接四邊形AEDF，∴∠BED=∠DFA，
∴△BED∽△DFA．
∴．
又∵∠BAD=∠CDA，∴DE=DF，
∴DF²=AF•BE．
分析：（I）利用弦切角定理、角平分線的性質、同圓弧所對的圓周角相等、平分線的性質定理即可證明；
（II）利用弦切角定理可得∠BAD=∠BDE．于是∠BDE=∠FAD，利用圓的內接四邊形的性質可得∠BED=∠DFA，可得△BED∽△DFA．及DE=DF，即可得出結論．
點評：熟練掌握弦切角定理、角平分線的性質、同圓弧所對的圓周角相等、平分線的性質定理、圓的內接四邊形的性質、相似三角形的判定與性質定理是解題的關鍵．