Question

設(shè)F₁、F₂分別是橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)，與直線y=b相切的⊙F₂交橢圓于E，且E是直線EF₁與⊙F₂的切點(diǎn)，則橢圓的離心率為（　　）

• A．

  3

  2

• B．

  3

  3

• C．

  5

  4

• D．

  5

  3

Answer 1

分析：由題設(shè)知EF₂=b，且EF₁⊥EF₂，再由E在橢圓上，知EF₁+EF₂=2a．由F₁F₂=2c，知4c²=（2a-b）²+b²．由此能求出橢圓的離心率．

解答：解：∵F₁、F₂分別是橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)，
與直線y=b相切的⊙F₂交橢圓于E，且E是直線EF₁與⊙F₂的切點(diǎn)，
∴EF₂=b，且EF₁⊥EF₂，
∵E在橢圓上，∴EF₁+EF₂=2a．
又∵F₁F₂=2c，∴F₁F₂²=EF₁²+EF₂²，即4c²=（2a-b）²+b²．將c²=a²-b²代入得b=

2

3

a．
e²=

c2

a2

=

a2-b2

a2

=1-（

b

a

）²=

5

9

．
∴橢圓的離心率e=

5

3

．
故選D．

點(diǎn)評：本題考查橢圓的離心率的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意橢圓的簡單性質(zhì)的應(yīng)用．