Question

已知f（x）=log_ax，g（x）=2log_a（2x+t-2）（a＞0，a≠1，t∈R）．
（1）當t=5時，求函數g（x）圖象過的定點；
（2）當t=4，x∈[1，2]，且F（x）=g（x）-f（x）有最小值2時，求a的值；
（3）當0＜a＜1，x∈[1，2]時，有f（x）≥g（x）恒成立，求實數t的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）當t=5時，g（x）=2log_a（2x+3）令2x+3=1，求得定點橫坐標．
（2）求得F(x)=loga[4(x+

1

x

)+8]，利用基本不等式求得4(x+

1

x

)+8∈[16，18]，再分若a＞1，0＜a＜1列出相應的方程并求解．
（3）由已知，

1

2

logax≥loga(2x+t-2)在x∈[1，2]時恒成立．0＜a＜1，轉化為

x

≤2x+t-2在x∈[1，2]時恒成立．

解答：（本小題滿分10分）
解：（1）當t=5時，g（x）=2log_a（2x+3）（a＞0，a≠1，t∈R），
∴g（x）圖象必過定點（-1，0）．…（1分）
（2）當t=4時，F(x)=g(x)-f(x)=2loga(2x+2)-logax=loga

(2x+2)2

x

=loga[4(x+

1

x

)+8]
當x∈[1，2]時，4(x+

1

x

)+8∈[16，18]，
若a＞1，則F（x）_min=log_a16=2，解得a=4或a=-4（舍去）；
若0＜a＜1，則F（x）_min=log_a18=2，解得a=3

2

（舍去）．故a=4．…（5分）
（3）轉化為二次函數在某區間上最值問題．由題意知，

1

2

logax≥loga(2x+t-2)在x∈[1，2]時恒成立，
∵0＜a＜1，∴

x

≤2x+t-2在x∈[1，2]時恒成立，…（7分）
t≥-2x+

x

+2=-2(

x

-

1

4

)2+

17

8

在x∈[1，2]時恒成立，∴t≥1．
故實數t的取值范圍[1，+∞）．     …（10分）

點評：本題考查對數函數的圖象與性質，考查轉化、計算能力．