Question

平面向量也叫二維向量，二維向量的坐標表示及其運算可以推廣到n（n≥3）維向量，n維向量可用（x₁，x₂，x₃，x₄，…，x_n）表示．設

a

=（a₁，a₂，a₃，a₄，…，a_n），

b

=（b₁，b₂，b₃，b₄，…，b_n），規定向量

a

與

b

夾角θ的余弦為cosθ=

n i=1 aibi

( n i=1 a 2 i )( n i=1 b 2 i )

．已知n維向量

a

，

b

，當

a

=（1，1，1，1，…，1），

b

=（-1，-1，1，1，1，…，1）時，cosθ等于

n-4

n

．

Answer 1

分析：利用題中對向量運算的推廣；利用向量的數量積公式求出兩個向量的數量積；利用向量模的坐標公式求出兩個向量的模；利用向量的數量積公式表示出夾角余弦，求出夾角的余弦值即可．

解答：解：由題意對運算的推廣得

a

•

b

=1×(-1)+1×(-1)+1×1+…+1×1=n-4
|

a

|=

1+1+1+..+1

=

n

，|

b

|=

1+1+1+…+1

=

n

∴cosθ=

a • b

| a || b |

=

n-4

n

故答案為：

n-4

n

．

點評：本題考查向量的數量積公式、考查向量模的公式、考查利用向量的數量積公式求向量夾角、考查新定義的題型關鍵是理解透新定義．