Question

已知數列滿足，，．

（1）若成等比數列，求的值；

（2）是否存在，使數列為等差數列？若存在，求出所有這樣的；若不存在，說明理由．

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）存在，當a1＝1時，數列{an}為等差數列．

【解析】

試題分析：（1）首先利用遞推公式把都用表示，再根據成等比數列，列方程解出的值.（2）對于這類開放性問題，處理的策略就是先假設存在a1，使數列{an}為等差數列，與（1）類似，根據成等差數列，有，從面得到關于的方程，方程若有解則存在，否則可認為不存在a1，使數列{an}為等差數列.

試題解析：（1）∵0＜a1＜2，

∴a2＝2－|a1|＝2－a1，a3＝2－|a2|＝2－|2－a1|＝2－(2－a1)＝a1．

∵a1，a2，a3成等比數列，

∴a22＝a1a3，即(2－a1)2＝a12，

解得a1＝1． 6分

（2）假設這樣的等差數列存在，則

由2a2＝a1＋a3，得2(2－a1)＝2a1，

解得a1＝1．

從而an＝1（n∈N*），此時{an}是一個等差數列；

因此，當且僅當a1＝1時，數列{an}為等差數列． 12分

考點：等差數列、等比數列的定義.