Question

已知圓M：x²+（y-2）²=1，設點B，C是直線l：x-2y=0上的兩點，它們的橫坐標分別是t，t+4（t∈R），點P在線段BC上，過P點作圓M的切線PA，切點為A．
（1）若t=0，，求直線PA的方程；
（2）經過A，P，M三點的圓的圓心是D，求線段DO長的最小值L（t）．

Answer 1

【答案】分析：（1）由圓的方程找出圓心坐標與圓的半徑，因為P在直線l上，所以設P的坐標為（a，2a），然后由M和P的坐標，利用兩點間的距離公式表示出MP的長，根據列出關于a的方程，求出方程的解即可得到a的值，得到P的坐標，設過P點切線方程的斜率為k，根據P的坐標和斜率k寫出切線的方程，根據直線與圓相切時圓心到直線的距離公式等于半徑，利用點到直線的距離公式表示出圓心M到切線方程的距離d，讓d等于圓的半徑r，即可得到關于k的方程，求出方程的解即可得到k的值，寫出直線PA的方程即可；
（2）根據圓的切線垂直于過切點的半徑得到AP垂直AM，所以三角形APM為直角三角形，所以外接圓圓心D為斜邊PM的中點，根據M和設出的P的坐標利用中點坐標公式表示出D的坐標，然后利用兩點間的距離公式表示出OD的長，得到關于a的函數為開口向上的拋物線，分三種情況：大于拋物線頂點的橫坐標，小于拋物線頂點的橫坐標小于+2，和+2小于頂點的橫坐標，利用二次函數的圖象即可求出函數的最小值．線段DO長的最小值L（t）為一個分段函數，寫出此分段函數的解析式即可．
解答：解：（1）由圓M：x²+（y-2）²=1，得到圓心M（0，2），半徑r=1，
設P（2a，a）（0≤a≤2）．
∵，∴．
解得a=1或（舍去）．
∴P（2，1）．由題意知切線PA的斜率存在，設斜率為k．
所以直線PA的方程為y-1=k（x-2），即kx-y-2k+1=0．
∵直線PA與圓M相切，
∴，
解得k=0或．
∴直線PA的方程是y=1或4x+3y-11=0；
（2）設
∵PA與圓M相切于點A，∴PA⊥MA．
∴經過A，P，M三點的圓的圓心D是線段MP的中點．
∵M（0，2），∴D的坐標是．
設DO²=f（a）．
∴．
當，即時，；
當，即時，；
當，即時，
則．
點評：此題考查學生掌握直線與圓相切是所滿足的條件，靈活運用兩點間的距離公式及點到直線的距離公式化簡求值，靈活運用二次函數求最值的方法解決實際問題，是一道比較難的題．