【題目】如圖，在四棱錐
中，底面
是矩形，平面
平面
，
，
是
的中點，
，
.
（1）求證：
；
（2）若二面角
的正弦值為
，求四棱錐的體積.
【答案】（1）見解析（2）
【解析】分析：（1）由幾何關系可證得直線
，
，
兩兩垂直.以
為坐標原點，，，所在直線分別為
軸，
軸，
軸建立空間直角坐標系
，設
.由空間向量的結論可證得
，則
.
（2）由（1）可得
，
.由空間向量計算可得
.則四棱錐
的體積
.
詳解：（1）設
的中點為
，連接，由四邊形
是矩形，得
.
∵
，是
的中點，∴
.
∵平面
平面
，平面
平面
，
∴
平面. ∴
. ∴直線，，兩兩垂直.
以為坐標原點，，，所在直線分別為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標系，設.
依題意得，
，
，
，
，
，
.
∴
，
.∵
，
∴
，即.
（2）由（1）可得，.
設平面
的法向量為
，則
，
，
∴
即
令
，則
是平面的一個法向量，同理可得
是平面
的一個法向量.設二面角
的大小為
，
則
. ∴
，解得.
∴四棱錐的體積
.
期末沖刺100分創新金卷完全試卷系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】設函數
，已知曲線
在點
處的切線與直線
平行
（Ⅰ）求
的值；
（Ⅱ）是否存在自然數
，使得方程
在
內存在唯一的根？如果存在，求出
；如果不存在，請說明理由。
（Ⅲ）設函數
（
表示
中的較小者），求
的最大值。
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】復利是一種計算利息的方法.即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再計算下一期的利息.某同學有壓歲錢1000元，存入銀行，年利率為2.25%；若放入微信零錢通或
者支付寶的余額寶，年利率可達4.01%.如果將這1000元選擇合適方式存滿5年，可以多獲利息( )元.（參考數據：
）
A. 176 B. 100 C. 77 D. 88
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】設樣本數據x1 ， x2 ， …，x10的均值和方差分別為1和4，若yi=xi+a（a為非零常數，i=1，2，…，10），則y1 ， y2 ， …，y10的均值和方差分別為（ ）
A.1+a，4
B.1+a，4+a
C.1，4
D.1，4+a
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在平面直角坐標系
中，直線
的參數方程為
（
為參數）.在以原點
為極點，
軸正半軸為極軸的極坐標系中，曲線
的極坐標方程為
.
（1）求直線的極坐標方程和曲線的直角坐標方程；
（2）若直線與曲線交于
兩點，求
.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在一塊耕地上種植一種作物，每季種植成本為1000元，此作物的市場價格和這塊地上的產量均具有隨機性，且互不影響，其具體情況如下表：
作物產量（kg） | 300 | 500 |
概率 | 0.5 | 0.5 |
作物市場價格（元/kg） | 6 | 10 |
概率 | 0.4 | 0.6 |
（1）設X表示在這塊地上種植1季此作物的利潤，求X的分布列；
（2）若在這塊地上連續3季種植此作物，求這3季中至少有2季的利潤不少于2000元的概率．
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