Question

已知函數f（x）=x²-alnx在（1，2]是增函數，在（0，1）為減函數．
（1）求f（x）、g（x）的表達式；
（2）求證：當x＞0時，方程f（x）=g（x）+2有唯一解；
（3）當b＞-1時，若在x∈（0，1]內恒成立，求b的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ），依題意f'（x）≥0，?x∈（1，2]恒成立，故a≤2．由，依題意，?x∈（0，1）恒成立．故a≥2．所以a=2．由此能求出f（x）、g（x）的表達式．
（Ⅱ）由f（x）=g（x）+2知，方程．設，
則=，令h'（x）=0，并由x＞0，得x=1．列表分析知h（x）在x=1處有一個最小值0，由此能夠證明當x＞0時，方程f（x）=g（x）+2有唯一解．
（Ⅲ）法一：
在x∈（0，1]恒成立等價于x²-2lnx，在x∈（0，1]內恒成立等價于在x∈（0，1]內恒成立．由此能求出b的取值范圍．
法二：
設，則x∈（0，1]時，=，由此能求出b的取值范圍．
解答：解：（Ⅰ），
依題意f'（x）≥0，?x∈（1，2]恒成立，
即a≤2x²，?x∈（1，2]恒成立．
∴a≤2①…（2分）
又，依題意恒成立g'（x）≤0，?x∈（0，1），
即，?x∈（0，1）恒成立．
∴a≥2．②…（4分）
由①②得a=2．
∴．…（5分）
（Ⅱ）由f（x）=g（x）+2知，
方程，
設，
則
=，…（7分）
令h'（x）=0，并由x＞0，得x=1．
列表分析：

x	（0，1）	1	（1，+∞）
h'（x）	-		+
h（x）	遞減		遞增

知h（x）在x=1處有一個最小值0，…（9分）
∴當x＞0且x≠1時，h（x）＞0，
∴h（x）=0在（0，+∞）上只有一個解．
即當x＞0時，方程f（x）=g（x）+2有唯一解．        …（11分）
（Ⅲ）解法一：∵在x∈（0，1]恒成立，
∴x²-2lnx在x∈（0，1]內恒成立，
∴在在x∈（0，1]內恒成立…③…（13分）
令（x∈（0，1]），
則
∴x∈（0，1]時，m'（x）＜0，
∴m（x）在（0，1]是減函數，
∴[m（x）]_min=m（1）=2
由③知2b≤[m（x）]_min=2，
∴b≤1…（15分）
又b＞-1，所以：-1＜b≤1為所求范圍．…（16分）
解法二：設，
則x∈（0，1]時，（13分）
=…（15分）
∴φ（x）在（0，1]為減函數，
∴φ（x）_min=φ（1）=1-2b+1≥0，
∴b≤1
又b＞-1，所以：-1＜b≤1為所求范圍．…（16分）
點評：本題考查導數在求函數最大值、最小值中的應用，考查運算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉化思想．對數學思維的要求比較高，有一定的探索性．綜合性強，難度大，是高考的重點．解題時要認真審題，仔細解答．