Question

設p：2∈{x||x-a|＞1}；q：曲線y=x²+（2a-3）x+1與x軸交于不同的兩點，如果p∨q為真命題，p∧q為假命題，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：線求得命題pq為真命題時，a的取值范圍，再根據復合命題真值表得：p∨q為真命題，p∧q為假命題，則命題p、q一真一假，由此求出a的范圍．

解答：解：∵2∈{x||x-a|＞1}，
∴|2-a|＞1⇒a＞3或a＜1，
∴命題p為真時：a＞3或a＜1；
∵曲線y=x²+（2a-3）x+1與x軸交于不同的兩點，則△＞0⇒a＜

1

2

或a＞

5

2

，
∴命題q為真時：a＜

1

2

或a＞

5

2

，
由復合命題真值表得：p∨q為真命題，p∧q為假命題，則命題p、q一真一假，
當p真q假時，

1

2

≤a＜1；
當p假q真時，

5

2

＜a≤3
綜上實數a的取值范圍是

5

2

＜a≤3或

1

2

≤a＜1．

點評：本題借助考查復合命題的真假判定，考查了絕對值不等式的解法及方程根的分布，求得簡單命題為真時的條件是關鍵．