Question

在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且3b²+3c²=3a²+2bc．
（1）求cosA的值；
（2）若a=3，b+c=6，求S_△ABC的值．

Answer 1

分析：（1）利用余弦定理表示出cosA，將已知等式變形后代入求出cosA的值即可；
（2）利用完全平方公式化簡b²+c²-a²，將b+c與a的值代入化簡求出bc的值，再由cosA的值，利用同角三角函數間的基本關系求出sinA的值，根據三角形面積公式即可求出三角形ABC面積．

解答：解：（1）由3b²+3c²=3a²+2bc得：b²+c²-a²=

2

3

bc，
∴cosA=

b2+c2-a2

2bc

=

1

3

；
（2）∵b²+c²-a²=（b+c）²-2bc-a²=

2

3

bc，
∴36-2bc-9=

2

3

bc，
解得：bc=

81

8

，
∵cosA=

1

3

，A為三角形內角，
∴sinA=

1-cos2A

=

2 2

3

，
則S_△ABC=

1

2

bcsinA=

27 3

8

．

點評：此題考查了余弦定理，三角形面積公式，以及同角三角函數間的基本關系，熟練掌握定理及公式是解本題的關鍵．