Question

已知函數f（x）=6lnx-ax²-8x+b，其中a，b為常數且x=3是f（x）的一個極值點．
（1）求a的值；
（2）求函數f（x）的單調減區間；
（3）若y=f（x）的圖象與x軸有且只有3個交點，求b的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由函數的解析式，可求出函數導函數的解析式，進而根據x=3是f（x）的一個極值點f′（3）=0，可構造關于a的方程，求出a值；
（2）由（1）可得函數導函數的解析式，分析導函數值大于0和小于0時，x的范圍，可得函數f（x）的單調減區間；
（3）若y=f（x）的圖象與x軸有且只有3個交點，則函數的極大值與極小值異號，進而構造關于b的不等式，解不等式可得答案．

解答：解：（1）∵f（x）=6lnx-ax²-8x+b，
∴f′（x）=

6

x

-2ax-8，
又∵x=3是f（x）的一個極值點
∴f′（3）=2-6a-8=0，
則a=-1．
（2）函數f（x）的定義域為（0，+∞）．
由（I）知f（x）=6lnx+x²-8+b．
∴f′（x）=

6

x

+2x-8=

2(x2-4x+3)

x

．
由f′（x）＞0可得x＞3或x＜1，由f′（x）＜0可得1＜x＜3．
∴函數f（x）的單調遞增區間為（0，1）和（3，+∞），單調遞減區間為（1，3）．
（3）由（Ⅱ）可知函數f（x）在（0，1）單調遞增，在（1，3）單調遞減，在（3，+∞）單調遞增．
且當x=1或x=3時，f′（x）=0．
∴f′（x）的極大值為f（1）=6ln1+1-8+b=b-7，
f′（x）的極大值為f（3）=6ln3+9-24+b=6ln3+b-15．
∵當x充分接近0時，f′（x）＜0．當x充分大時，f（x）＞0．
∴要使的f′（x）圖象與x軸正半軸有且僅有三個不同的交點，只
需f（1）•f（3）＜0
即（b-7）•（6ln3+b-15）＜0
解得：7＜b＜15-6ln3

點評：本題考查的知識點是利用導數研究函數的極值，利用導數研究函數的單調性，其中根據已知條件確定a值，得到函數導函數的解析式并對其符號進行分析，是解答的關鍵．