Question

設關于x的方程2x²-ax-2=0的兩根為α，β（α＜β），函數f(x)=

4x-a

x2+1

，且|f（α）•f（β）|=4．
（1）證明：f（x）在[α，β]上是增函數；
（2）當α為何值時，f（x）在[α，β]上的最大值與最小值之差最小？

Answer 1

分析：（1）由求導公式和法則求出f′（x）并化簡，再由條件得：函數y=2x²-ax-2在[α，β]上恒小于0，利用f′（x）的符號進行判定函數的單調性即可；
（2）由韋達定理求出f（α）•f（β）的式子，并判斷出符號，由（1）可知函數f（x）在[α，β]上最大值
f（β）＞0，最小值f（α）＜0，而|f（α）•f（β）|=4，則當f（β）=-f（α）=2時，f（β）-f（α）取最小值，從而得到結論．

解答：證明：（1）由題意得，f′(x)=

(4x-a)′(x2+1)-(4x-a)(x2+1)′

(x2+1)2

=

4(x2+1)-(4x-a)•2x

(x2+1)2

=

-4x2+2ax+4

(x2+1)2

=-

2(2x2-ax-2)

(x2+1)2

，
∵方程2x²-ax-2=0的兩根為α，β（α＜β），
∴函數y=2x²-ax-2在[α，β]上恒小于0，
則-

2(2x2-ax-2)

(x2+1)2

在[α，β]上恒大于0，即f′（x）＞0在[α，β]上恒成立，
∴f（x）在[α，β]上是增函數；
解：（2）∵方程2x²-ax-2=0的兩根為α，β（α＜β），
∴α+β=

a

2

，αβ=-1，
∴f（α）•f（β）=

4α-a

α2+1

•

4β-a

β2+1

=

4αβ-4a(α+β)+a2

α2β2+α2+β2+1

=

-4-a2

4+ a2 4

＞0，
∴由（1）知，函數f（x）在[α，β]上最大值f（β）＞0，最小值f（α）＜0，
∵|f（α）•f（β）|=4，
∴當且僅當f（β）=-f（α）=2時，f（β）-f（α）=|f（β）|+|f（α）|取最小值4，
此時a=0，f（β）=2．

點評：本題主要考查了函數與方程的綜合運用，以及函數單調性的判定和函數最值等有關知識，同時考查了計算能力，屬于中檔題．