Question

已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，長軸長是2

2

，離心率是

2

2

．
（1）求橢圓的方程；
（2）過橢圓右焦點F₂的直線與橢圓相交于A，B兩點，在x軸上是否存在定點C，使

CA

•

CB

為常數？若存在，求出定點C的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據長軸長是2

2

，離心率是

2

2

，可確定幾何量，從而可求橢圓的方程；
（2）分類討論：當AB不與x軸垂直時，設過點F₂的直線AB方程與橢圓方程聯立，可得

CA

•

CB

=m2-2m+

1

2

+

2m- 5 2

2k2+1

，要使

CA

•

CB

為常數，則2m-

5

2

=0，從而可得m=

5

4

，

CA

•

CB

=-

7

16

；當AB與x軸垂直時，同樣可得在x軸上存在定點C(

5

4

，0)，使

CA

•

CB

為常數-

7

16

．

解答：解：（1）∵長軸長是2

2

，離心率是

2

2

．
∴a=

2

，

c

a

=

2

2

∴c=1，∴b=1
∴橢圓的方程為

x2

2

+y2=1；
（2）當AB不與x軸垂直時，設過點F₂的直線AB方程為y=k（x-1），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（m，0）
由

y=k(x-1) x2 2 +y2=1

，消去y得：（2k²+1）x²-4k²x+2k²-2=0
∴x1+x2=

4k2

2k2+1

，x1x2=

2k2-2

2k2+1

∴

CA

•

CB

=(k2+1)x1x2-(k2+m)(x1+x2)+k2+m2=m2-2m+

1

2

+

2m- 5 2

2k2+1

要使

CA

•

CB

為常數，則2m-

5

2

=0，∴m=

5

4

．此時

CA

•

CB

=-

7

16

當AB與x軸垂直時，點A，B的坐標分別是(1，

2

2

)，(1，-

2

2

)
∴

CA

•

CB

=(1-

5

4

，

2

2

)•(1-

5

4

，-

2

2

)=-

7

16

綜上知，在x軸上存在定點C(

5

4

，0)，使

CA

•

CB

為常數-

7

16

．

點評：本題以橢圓的性質為載體，考查橢圓的標準方程，考查直線與橢圓的位置關系，解題的關鍵是直線與橢圓聯立方程組，借助于韋達定理及向量的數量積公式進行求解．