Question

7．如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥底面ABC，∠BAC=90°，AB=AC=2，$A{A_1}=\sqrt{3}$．M，N分別為BC和AA₁的中點，P為側棱BB₁上的動點．
（Ⅰ）求證：平面APM⊥平面BB₁C₁C；
（Ⅱ）若P為線段BB₁的中點，求證：CN∥平面AMP；
（Ⅲ）試判斷直線BC₁與PA能否垂直．若能垂直，求出PB的值；若不能垂直，請說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推導出AM⊥BC，BB₁⊥AM，從而AM⊥平面BB₁C₁C，由此能證明平面AMP⊥平面BB₁C₁C．
（Ⅱ）連結BN，交AP于Q，連結MQ，NP．推導出四邊形ANPB為平行四邊形，從而CN∥MQ，由此能證明CN∥平面AMP．
（Ⅲ） 假設直線BC₁與直線PA能夠垂直，設PB=x，$x∈[0，\sqrt{3}]$．推導出$x=\frac{{4\sqrt{3}}}{3}∉[0，\sqrt{3}]$．從而得到直線BC₁與直線PA不可能垂直．

解答 （本小題滿分14分）
證明：（Ⅰ）由已知，M為BC中點，且AB=AC，
所以AM⊥BC．…（1分）
又因為BB₁∥AA₁，且AA₁⊥底面ABC，
所以BB₁⊥底面ABC．所以BB₁⊥AM，…（3分）
所以AM⊥平面BB₁C₁C．
所以平面AMP⊥平面BB₁C₁C．…（5分）
（Ⅱ）連結BN，交AP于Q，連結MQ，NP．
因為N，P分別為AA₁，BB₁中點，所以AN∥BP，且AN=BP．
所以四邊形ANPB為平行四邊形，…（7分）
Q為BN中點，所以MQ為△CBN的中位線，
所以CN∥MQ．…（8分）
又CN?平面AMP，MQ?平面AMP，所以CN∥平面AMP．…（9分）
解：（Ⅲ） 假設直線BC₁與直線PA能夠垂直，
又因為AM⊥BC₁，
所以BC₁⊥平面APM，所以BC₁⊥PM．…（10分）
設PB=x，$x∈[0，\sqrt{3}]$．當BC₁⊥PM時，∠BPM=∠B₁C₁B，
所以Rt△PBM∽Rt△B₁C₁B，所以$\frac{PB}{MB}=\frac{{{C_1}{B_1}}}{{B{B_1}}}$．…（12分）
因為$MB=\sqrt{2}，{C_1}{B_1}=2\sqrt{2}，B{B_1}=\sqrt{3}$，所以$\frac{x}{{\sqrt{2}}}=\frac{{2\sqrt{2}}}{{\sqrt{3}}}$，解得$x=\frac{{4\sqrt{3}}}{3}∉[0，\sqrt{3}]$．…（13分）
因此直線BC₁與直線PA不可能垂直．…（14分）

點評 本題考查面面垂直的證明，考查線面平行的證明，考查線線是否垂直的判斷，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養．