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已知圓C:x2+(y-1)2=5,直線l:mx-y+1-m=0.

(1)求證:對m∈R,直線l與圓C總有兩個不同的交點;

(2)設(shè)l與圓C交于A、B兩點,若|AB|=,求l的傾斜角;

(3)求弦AB的中點M的軌跡方程;

(4)若定點P(1,1)分弦AB為=,求此時直線l的方程.

(1)證明:由已知l:y-1=m(x-1),

∴直線l恒過定點P(1,1).

∵12+(1-1)2=1<5,

∴P在圓C內(nèi).則直線l與圓C總有兩個不同的交點.

(2)解:將直線l與圓C的方程聯(lián)立,消去y得(1+m2)x2-2m2x+m2-5=0.               (*)

設(shè)A(x1,y1)、B(x2,y2),則x1、x2為方程(*)的兩實根,

∵|AB|=|x1-x2|,

=·.∴m2=3,m=±.

∴l(xiāng)的傾斜角為α=.

(3)解:設(shè)M的坐標(biāo)為(x,y),連結(jié)CM、CP,

∵C(0,1),P(1,1),|CM|2+|PM|2=|CP|2,∴x2+(y-1)2+(x-1)2+(y-1)2=1.

    整理得軌跡方程為x2+y2-x-2y+1=0(x≠1).

(4)解:∵=,

∴1=.∴x1=-(x1+x2).

    又∵x1+x2=,∴x1=,x1=.

    解方程(1+m2)x2-2m2x+m2-5=0,得x1=,

=,

    解得m=±1.

∴直線l的方程為x-y=0或x+y-2=0.

練習(xí)冊系列答案
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同步練習(xí)冊答案
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